Probabilidad

HISTORIA:

La teoría de las probabilidades se origina en  la mitad del siglo XVII asociado con los trabajos de Christiaan Huygens (1629-1665), Blaise Pascal (1623-1662). Pedro de Fermat (1601-1665) y James Bernoulli (1654-1705).  En Huygens se destaca su obra “De Ratiocinitis in Ludo Aleae”, el primer trabajo publicado sobre juegos de azar en 1657. En 1669 realizó la aplicación de la teoría de probabilidades a la esperanza de vida humana.

Algunos de los trabajos más importantes de Bernoulli fueron publicados en 1713 en la obra “Ars Conjectandi” que, entre otros tópicos, contiene su teoría de las permutaciones y combinaciones, y sus escritos sobre probabilidades. Esta obra es considerada como el comienzo de la teoría de las probabilidades.

SUCESOS. TIPOS Y OPERACIONES:

TIPOS DE SUCESOS:

Suceso elemental: Suceso elemental es cada uno de los elementos que forman parte del espacio muestral.
Suceso aleatorio : Suceso compuesto es cualquier subconjunto del espacio muestral.
Sucesos compatibles: Dos sucesos, A y B, son compatibles cuando tienen algún sucesoelemental común.

Sucesos incompatibles: Dos sucesos, A y B, son incompatibles cuando no tienen ningún elemento en común.

Sucesos independientes: Dos sucesos, A y B, son independientes cuando la probabilidad deque suceda A no se ve afectada porque haya sucedido o no B.

Sucesos dependientes: Dos sucesos, A y B, son dependientes cuando la probabilidad deque suceda A se ve afectada porque haya sucedido o no B.

Suceso contrario: El suceso contrario a A es otro suceso que se realiza cuando no serealiza A., Se denota por .

OPERACIONES CON SUCESOS

Unión de sucesos: Si tenemos dos sucesos      y      de un mismo experimento aleatorio, llamamos suceso unión de      y      al suceso que se realiza cuando lo hacen      o    . Se representa por    .

Intersección de sucesos: Si tenemos dos sucesos      y      de un mismo experimento aleatorio, llamamos suceso intersección de      y      al suceso que se realiza cuando lo hacen      y    . Este suceso intersección está formado por todos los sucesos elementales que pertenecen a    y a   , al mismo tiempo. Se representa por    .

Cuando      es el suceso imposible, es decir, no hay ningún suceso elemental que pertenezca a A y a B al mismo tiempo, decimos que los sucesos      y      son incompatibles. Su intersección, como conjuntos, es igual al conjunto vacío. ()

En caso contrario, es decir, si la intersección es no vacía, decimos que      y      son compatibles.

Sucesos contrariosCuando la unión de dos sucesos es el espacio muestral y la intersección de los mismos conjuntos da el suceso imposible (conjunto vacío), decimos que ambos sucesos son complementarios o contrarios.

Para un suceso cualquiera      de un experimento aleatorio, llamamos suceso contrario del suceso      al suceso que se verifica cuando no se verifica   ,   y viceversa. Se representa por    .

En cualquier espacio muestral, obtenido de la realización de un experimento aleatorio, todo suceso que se considere tiene su contrario. Las propiedades más significativas de los sucesos contrarios son:

donde  representa el suceso seguro, compuesto por todos los sucesos elementales del espacio muestral.

h

PROBABILIDAD:


Regla de la Laplace:

Realizamos un experimento aleatorío.Su espacio muestral E tiene todos los sucesos elementalesequiprobables.La probabilidad de un suceso S es:

P(S) =	Número de casos favorables al suceso S.
	Número de casos posibles del experimento

Probabilidad de la unión de sucesos compatibles
                                A  B ≠ 
                          p(A  B) = p(A) + p(B) − p(A  B)
Probabilidad condicionada




Probabilidad de la intersección de sucesos independientes


p(A  B) = p(A) · p(B)


Probabilidad de la intersección de sucesos dependientes


p(A  B) = p(A) · p(B/A)


Teorema de la probabilidad total


Si A ₁, A ₂ ,... , A _n son sucesos incompatibles 2 a 2, cuya  unión   es el espacio muestral  (A ₁  A ₂ ...  A _n = E) y B es    otro suceso, resulta que:
   p(B) = p(A₁) · p(B/A₁) + p(A₂) · p(B/A₂ ) + ... + p(A_n) · p(B/A_n )
Teorema de Bayes
Si A ₁, A ₂ ,... , A _n son sucesos incompatibles 2 a 2, cuya   unión es el espacio muestral (A ₁  A ₂ ...  A _n = E) y B es      otro suceso, resulta que:


Ejemplo: