matemáticas: NÚMEROS COMPLEJOS

Historia:

El primero en usar los números complejos fue el matemático italiano Girolamo Cardano (1501–1576) quien los usó en la fórmula para resolver las ecuaciones cúbicas. El término “número complejo” fue introducido por el gran matemático alemán Carl Friedrich Gauss (1777–1855) cuyo trabajo fue de importancia básica en álgebra, teoría de los números, ecuaciones diferenciales, geometría diferencial, geometría no euclídea, análisis complejo, análisis numérico y mecánica teórica, también abrió el camino para el uso general y sistemático de los números complejos.

Problemas no resolubles en R. Números complejos

Ecuación sin solución real:

Como ya se sabe, existen algunas ecuaciones de segundo grado que no tienen ninguna solución real. Tal es el caso de la ecuación x ² + 1 = 0.

Si bien esto no era un problema excesivamente grave en la época en que se observó, un ingenioso método ideado por Gerolamo Cardano (1501-1576) para la resolución de las ecuaciones de tercer grado precisaba resolver cualquier tipo de ecuaciones de segundo grado, para su aplicación.

Esto dio lugar a que se admitieran también las raíces cuadradas de los números negativos llamándolas «números imaginarios». .

Se llama unidad imaginaria a un ente abstracto i , al que se le atribuye la propiedad de que su cuadrado es -1: i ² = -1.

Añadiendo este elemento al cuerpo de los números reales, se tiene una solución para la ecuación x ² + 1 = 0, pero ocurre que ya no se dispone de un procedimiento para calcular la suma y el producto de dos elementos de la estructura así obtenida.

Forma binómica de un número complejo

se llama número complejo, en forma binómica, la expresión: z = a + b.i

-El número a se llama parte real, y se denota a = Re(z).

-El número b se llama parte imaginaria, y se denota b = Im(z)

Dos números complejos son iguales solo si son iguales su parte real e imaginaria.

sean z = a + b.i y z´ = a + b.i ; entonces z=z´

Conjugado de un número complejo

El conjugado de un número complejo $\bar{z} = a - \mathrm{i}b \Longleftrightarrow z = a + \mathrm{i}b$

Opuesto de un numero complejo

El opuesto del complejo z= a + b.i es el complejo -z = -a - b.i

Gráfica de imaginarios puros, opuesto y conjugado de un complejo.

Módulo de un número complejo

El modulo de un número complejo z es el modúlo de posición de su afijo. Se representa por |z|

Un ejemplo de los distintos apartados que hemos visto:

OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS EN FORMA BINÓMICA

Suma , diferencia y producto.

suma y diferencia de números complejos se realiza sumando y restando las partes reales entre sí y las partes imaginarias entre sí.

Suma (a+bi)+(c+di) = a+c (b+d)i
Diferencia (a+bi)-(c+di) = a+c (b+d)i
Producto (a+bi)(c+di) = ac - bd + (ad + bc)i

cociente

Ejemplo:

FORMA POLAR Y TRIGONOMÉTRICA DE UN NÚMERO COMPLEJO

Argumento de un número complejo

El argumento de un número complejo z = a + b.i es el ángulo que forma el vector de posición del afijo del número complejo con el semieje positivo de abscisas

Forma trigonométrica o polar de un número complejo

La forma trigonométrica de un número complejo se establece observando el triángulo amarillo de la Figura

En este caso se tiene que

y que

Luego

Por lo tanto:

PRODUCTO, COCIENTE Y POTENCIA EN FORMA POLAR

Producto de un número complejo en forma polar

la multiplicación de dos números complejos en su forma

trigonométrica da como resultado un número complejo cuyo módulo es igual al producto de sus módulos y cuyo argumento es igual a la suma de los argumentos.