Relaciones entre las razones trigonométricas
Sería deseable conocer todas la posibles relaciones entre las distintas razones trigonométricas con el fin de poder dedudir unas a partir de otras. Con las relaciones que vamos a establecer se obtendrán todas las razones de un ángulo a partir de una dada.
De las definiciones se deduce que:
De las definiciones se deduce que:
Consideremos el senA = a/c y el cosA = b/c, si sumamos sus cuadrados y tenemos en cuenta el teorema de Pitágoras a2+b2 = c2
se obtine la relacion fundamental de trigonometría
sen2A + cos2 A = 1
Si dividimos los dos miembros de la igualdad por cos2 A se obtiene una segunda igualdad
1 + tg2 A = sec2A
Si dividimos los dos miembros de la igualdad por sen2 A se obtiene una segunda igualdad
1 + cotg2 A = cosec2A
A partir de las relaciones anteriores se pueden obtener todas las relaciones trigonométricas conocida una y el cuadrante en el que se encuentra, recordemos el signo del seno y el coseno dependiendo del cuadrante donde se encuentre el ángulo.se obtine la relacion fundamental de trigonometría
sen2A + cos2 A = 1
Si dividimos los dos miembros de la igualdad por cos2 A se obtiene una segunda igualdad
1 + tg2 A = sec2A
Si dividimos los dos miembros de la igualdad por sen2 A se obtiene una segunda igualdad
1 + cotg2 A = cosec2A
Razones trigonométricas de la suma y la diferencia de ángulos
Transformación de sumas en productos
Resumiendo:
sen A+sen B = 2 sen | A+B | cos | A-B |
sen A-sen B = 2 sen | A-B | cos | A+B |
cosA+cosB = 2 cos | A+B | cos | A-B |
cosA-cosB = -2 sen |
A+B
2
| sen |
A-B
2
|
Razones trigonométricas del ángulo doble y del ángulo mitad
Ya aprendimos que
Hagamos , con lo que obtendremos que:
De forma análoga podemos determinar que:
Para determinar las funciones trigonométricas del ángulo mitad, hagamos
Sabemos que:
reemplazando obtenemos:
despejando:
consideramos ahora que:
Entonces:
despejando
Por último, ya que las otras se pueden determinar mediante la identidad
remplazando obtenemos
o sea
Ecuaciones y sistemas de ecuaciones trigonométricas
Ecuaciones trigonométricas:
Una ecuación trigonométrica es aquella en la que la incógnita aparece como argumento en una o varias razones trigonométricas.
Ejemplo:
Sistemas de ecuaciones trigonométricas:
Para resolver sistemas de ecuaciones trigonométricas se utilizan los habituales métodos de sustitución o de reducción.
Ejemplo:
este sistema lo vamos a resolver mediante el método de sustitución
Teorema del seno y del coseno
Teorema del seno:
En cualquiera triángulo ABC se verifica que:
Teorema del coseno:
En cualquiera triangulo ABC se verifica que:
Resolución de triángulos
Conocemos un lado y dos ángulos:
Sabiendo que la suma de los tres ángulos es 180º, calculamos el tercer ángulo y mediante el teorema del seno calculamos los otros dos lados.
Conocemos dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos:
Aplicamos el teorema del seno para obtener el ángulo que es opuesto a uno de los lados dados y aplicamos nuevamente el teorema de los senos.
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