matemáticas: 2012

lunes, 11 de junio de 2012

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

INTRODUCCIÓN:

La probabilidad constituye un importante parámetro en la determinación de las diversas casualidades obtenidas tras una serie de eventos esperados dentro de un rango estadístico.
Existen diversas formas como método abstracto, como la teoría Dempster-Shafer y la teoría de la relatividad numérica, esta última con un alto grado de aceptación si se toma en cuenta que disminuye considerablemente las posibilidades hasta un nivel mínimo ya que somete a todas las antiguas reglas a una simple ley de realitividad.

Variable aleatoria:

es una variable estadística cuyos valores se obtienen de mediciones en algún tipo de experimento aleatorio. Formalmente, una variable aleatoria es una función, que asigna eventos (p.e., los posibles resultados de tirar un dado dos veces: (1, 1), (1, 2), etc.) a números reales (p.e., su suma).

Discreta:

Se dice que una Variable aleatoria Discreta o Discontinua X, tiene un conjunto definido de valores posibles x1,x2,x3,…..xn con probabilidades respectivas p1,p2,p3,…..pn., Es decir que sólo puede tomar ciertos valores dentro de un campo de variación dado. Como X ha de tomar uno de los valores de este conjunto, entonces p1 + p2 +…+ pn=1.

Parámetros:
Media:

La media de una variable aleatoria X se denota por x. En el caso en el que no exista la

posibilidad de confusi on respecto de la variable aleatoria con la que estamos trabajando, la media se denotar a solamente por µ.

µ = E(X) = ∑ xi pi

Varianza:

La varianza de una variable aleatoria X se denota por σ2 x o simplemente por σ2
Por tanto, la desviaci on t pica de una variable aleatoria X se denota por σ.

σ 2 = (∑x2 pi) − µ2

Continua:

Puede tomar cualquier valor de un intervalo.

DISTRIBUCIONES:

Distribuciones de Bernoulli.

Es una distribución de probabilidad discreta, que toma valor 1 para la probabilidad de éxito ( $p$ ) y valor 0 para la probabilidad de fracaso ( $q=1-p$ ).

Si $X$ es una variable aleatoria que mide "número de éxitos", y se realiza un único experimento con dos posibles resultados (éxito o fracaso), se dice que la variable aleatoria $X \,$ se distribuye como una Bernoulli de parámetro $p \,$ .

La fórmula será:

$f(x) = p^x(1-p)^{1-x} \, \qquad \text{ con } \, x = \{0, 1\} \,$

Ejemplo:

Distribución binomial:

De las distribuciones discretas importantes solamente vamos a estudiar la distribuci on Binomial. Una variable aleatoria X tiene una distribuci on Binomial de par ametros n y p si cuenta el n umero de veces que ocurre un suceso denominado exito cuando se repite n veces un experimento cuyos unicos resultados son el suceso exito o su contrario, permaneciendo constante la probabilidad (p) del suceso exito.

El suceso contrario de exito se suele llamar fracaso y su probabilidad es q = 1 p.

Son equivalentes las dos a rmaciones siguientes: \X tiene una distribuci on Binomial de par ametros n y p" y \X es una variable aleatoria Binomial de par ametros n y p".

La variable aleatoria Binomial de par ametros n y p ser a denotada por: B(n; p).

Parámetros de la distribución binomial:

media es: µ= np

su varianza es: σ 2= npq

desviaci on t pica es: σ=(npq)½

La formula de distribución binomial:

Ejemplo

DISTRIBUCIÓN NORMAL:

Una variable aleatoria continua, X, sigue una distribución normal de media μ y desviación típica σ, y se designa por N(μ, σ), si se cumplen las siguientes condiciones:

La variable puede tomar cualquier valor: (-∞, +∞)

La función de densidad, es la expresión en términos de ecuación matemática de la curva de Gauss:

Curva de distribución normal:

Al ser simétrica respecto al eje que pasa por x = µ, deja un área igual a 0.5 a la izquierda y otra igual a 0.5 a la derecha.

Ejemplo:

FUENTES:

http://www.bioestadistica.uma.es/libro/node58.htm

http://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_de_Bernoulli

http://ocw.um.es/cc.-sociales/estadistica-para-informacion-y-documentacion/material-de-clase-1/tema-5.pdf

http://www.vitutor.com/pro/3/b_f.html

domingo, 10 de junio de 2012

Probabilidad

HISTORIA:

La teoría de las probabilidades se origina en la mitad del siglo XVII asociado con los trabajos de Christiaan Huygens (1629-1665), Blaise Pascal (1623-1662). Pedro de Fermat (1601-1665) y James Bernoulli (1654-1705).  En Huygens se destaca su obra “De Ratiocinitis in Ludo Aleae”, el primer trabajo publicado sobre juegos de azar en 1657. En 1669 realizó la aplicación de la teoría de probabilidades a la esperanza de vida humana.

Algunos de los trabajos más importantes de Bernoulli fueron publicados en 1713 en la obra “Ars Conjectandi” que, entre otros tópicos, contiene su teoría de las permutaciones y combinaciones, y sus escritos sobre probabilidades. Esta obra es considerada como el comienzo de la teoría de las probabilidades.

SUCESOS. TIPOS Y OPERACIONES:

TIPOS DE SUCESOS:

Suceso elemental: Suceso elemental es cada uno de los elementos que forman parte del espacio muestral.
Suceso aleatorio : Suceso compuesto es cualquier subconjunto del espacio muestral.
Sucesos compatibles: Dos sucesos, A y B, son compatibles cuando tienen algún sucesoelemental común.

Sucesos incompatibles: Dos sucesos, A y B, son incompatibles cuando no tienen ningún elemento en común.

Sucesos independientes: Dos sucesos, A y B, son independientes cuando la probabilidad deque suceda A no se ve afectada porque haya sucedido o no B.

Sucesos dependientes: Dos sucesos, A y B, son dependientes cuando la probabilidad deque suceda A se ve afectada porque haya sucedido o no B.

Suceso contrario: El suceso contrario a A es otro suceso que se realiza cuando no serealiza A., Se denota por

OPERACIONES CON SUCESOS

Unión de sucesos: Si tenemos dos sucesos $A$ y $B$ de un mismo experimento aleatorio, llamamos suceso unión de $A$ y $B$ al suceso que se realiza cuando lo hacen $A$ o $B$ . Se representa por $A \cup B$ .

Intersección de sucesos: Si tenemos dos sucesos $A$ y $B$ de un mismo experimento aleatorio, llamamos suceso intersección de $A$ y $B$ al suceso que se realiza cuando lo hacen $A$ y $B$ . Este suceso intersección está formado por todos los sucesos elementales que pertenecen a $A$ y a $B$ , al mismo tiempo. Se representa por $A \cap B$ .

Cuando $A \cap B$ es el suceso imposible, es decir, no hay ningún suceso elemental que pertenezca a A y a B al mismo tiempo, decimos que los sucesos $A$ y $B$ son incompatibles. Su intersección, como conjuntos, es igual al conjunto vacío. ( $A \cap B = \emptyset$ )

En caso contrario, es decir, si la intersección es no vacía, decimos que $A$ y $B$ son compatibles.

Sucesos contrariosCuando la unión de dos sucesos es el espacio muestral y la intersección de los mismos conjuntos da el suceso imposible (conjunto vacío), decimos que ambos sucesos son complementarios o contrarios.

Para un suceso cualquiera $A$ de un experimento aleatorio, llamamos suceso contrario del suceso $A$ al suceso que se verifica cuando no se verifica $A$ , y viceversa. Se representa por $\overline{A}$ .

En cualquier espacio muestral, obtenido de la realización de un experimento aleatorio, todo suceso que se considere tiene su contrario. Las propiedades más significativas de los sucesos contrarios son:

$A \cup \overline{A} = E \qquad A \cap \overline{A} = \emptyset \qquad \overline{E} = \emptyset \qquad \overline{\emptyset} = E$

donde $E$ representa el suceso seguro, compuesto por todos los sucesos elementales del espacio muestral.

PROBABILIDAD:

Regla de la Laplace:

Realizamos un experimento aleatorío.Su espacio muestral E tiene todos los sucesos elementalesequiprobables.La probabilidad de un suceso S es:

P(S) =	Número de casos favorables al suceso S.
	Número de casos posibles del experimento

Probabilidad de la unión de sucesos compatibles
A

B ≠

p(A

B) = p(A) + p(B) − p(A

B)
Probabilidad condicionada

Probabilidad de la intersección de sucesos independientes

p(A B) = p(A) · p(B)

Probabilidad de la intersección de sucesos dependientes

p(A B) = p(A) · p(B/A)

Teorema de la probabilidad total

Si A₁, A₂,... , A_nson sucesos incompatibles 2 a 2, cuya unión es el espacio muestral (A₁

A₂

...

A_n= E) y B es otro suceso, resulta que:
p(B) = p(A₁) · p(B/A₁) + p(A₂) · p(B/A₂) + ... + p(A_n) · p(B/A_{_n})
Teorema de Bayes
Si A₁, A₂,... , A_nson sucesos incompatibles 2 a 2, cuya unión es el espacio muestral (A₁

A₂

...

A_n= E) y B es otro suceso, resulta que:

Ejemplo: