Ecuaciones, sistema e inecuaciones

  

2.1. Definición y historia de ecuaciones

Ecuaciones: En matemáticas, una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas, denominadas miembros, en las que aparecen valores conocidos o datos, y desconocidos o incógnitas, relacionados mediante operaciones matemáticas. Los valores conocidos pueden ser números, coeficientes o constantes; y también variables cuya magnitud se haya establecido como resultado de otras operaciones. Las incógnitas, representadas generalmente por letras, constituyen los valores que se pretende hallar.

Ya en el siglo XVI aC. los egipcios resolvían problemas cotidianos que tenían que ver con la repartición de víveres, de cosechas y de materiales que eran equivalentes a resolver ecuaciones algebraicas simples de primer grado; como la notación algebraica no existía usaban un método iterativo aproximado llamado el "método de la falsa posición".

Los matemáticos chinos de principios de nuestra era escribieron el libro "El Arte del cálculo" en el que plantearon diversos métodos para resolver ecuaciones algebraicas de primero y segundo grado, así como sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas.

2.2.Operaciones con polinomios

Suma o resta de polinomios: para sumar o retar dos polinomios se sumas o restas los coeficientes de los términos del mismo grado.
Producto de los polinomios: para multiplicar dos polinomios. se multiplican los términos de primer por cada uno de los términos del segundo y se reducen los términos semejantes obtenidos.

Por ejemplo, consideremos los polinomios

P(x)= 3x⁵ + 2x³ - 5x² + 6 y Q(x) = 8x³ + 3x² - x - 4

El polinomio resultante de la suma P(x) + Q(x)= 3x⁵ + 10x³ - 2x² - x + 2

Fíjate, aquellos monomios cuya parte literal aparece en un polinomio los hemos copiado y hemos sumado aquellos monomios que tenían la misma parte literal:

2x³ + 8x³ = 10x³

-5x² + 3x² = -2x³

6 - 4 = 2 

2.3.Factorización de un polinomio

Para factorizar existen varios métodos:

Sacar factor común: Es aplicar la propiedad distributiva de la multiplicación.

Si se trata de una diferencia de cuadrados: Es igual a suma por diferencia.

Se basa en la siguiente fórmula

                                          

Pero aplicada al revés, o sea que si me dicen que factorice  escribo

                                           

Si se trata de un trinomio cuadrado perfecto: Es igual al cuadrado de un binomio

Se basa en las siguientes fórmulas

 y  

Así si nos dicen que factoricemos: , basta aplicar la fórmula anterior y escribir que

Si se trata de un trinomio de segundo grado: O sea un polinomio de este tipo

, siendo a, b y c números

Se iguala el trinomio a cero , se resuelve la ecuación , y si tiene dos soluciones distintas,  y se aplica la siguiente fórmula: 

Para cualquier polinomio que tenga raíces enteras se puede aplicar la regla de Ruffini: Decir que un polinomio tienes raíces enteras es encontrar valores de x números enteros que al sustituirlos en el polinomio nos da cero.

Si un polinomio de , por ejemplo, cuarto grado  tiene cuatro raíces enteras, , ,  y  se factoriza así:

Muchas veces se pueden combinar estos cinco métodos. Según como sea el polinomio hay métodos que se pueden aplicar y otros que no. Se aconseja que se intenten aplicar los cinco métodos sucesivamente, sobre todo, si se puede sacar factor común se hace en primer lugar, y si luego en uno de los factores se puede seguir aplicando otros de los métodos, se aplica.

2.4.Fracciones algebraicas

Una fracción algebraica es el cociente de dos polinomios y se representa por:

                        

2.5.Ecuaciones racionales 

Las ecuaciones racionales son ecuaciones en las que aparecen fracciones polinómicas.

2.6.Ecuaciones con radicales

Las ecuaciones con radicales o ecucaciones irracionales son aquellas que tienen la incógnita bajo el signo radical.       

                                     

2.7.Ecuaciones logarítmicas

Las ecuaciones logarítmicas son aquellas ecuaciones en la que la incógnita aparece afectada por un logaritmo.

formula y propiedades de los logaritmos:

                

2.8.Ecuaciones exponenciales 

Una ecuación exponencial es aquella ecuación en la que la incógnita aparece en el exponente.

Para resolver una ecuación exponencial vamos a tener en cuenta:

 

            

                       

2.9.Sistemas de ecuaciones lineales. Método de Guass

El método de Gauss, conocido también como de triangulación o de cascada, nos permite resolver sistemas de ecuaciones lineales con cualquier número de ecuaciones y de incógnitas.

La idea es muy simple; por ejemplo, para el caso de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas se trata de obtener un sistema equivalente cuya primera ecuación tenga tres incógnitas, la segunda dos y la tercera una. Se obtiene así un sistema triangular o en cascada de la forma:

                                     Ax + By + Cz = D

                                              Ey + Fz = G 

                                                                 Hz = I

La resolución del sistema es ahora inmediata; basta calcular z en la tercera ecuación, llevar este valor de z a la segunda ecuación para obtener el valor de y, y así despejar la incógnitax en la primera ecuación, conocidos ya z e y.

2.10.Sistema de ecuaciones de segundo grado

Un sistema de ecuaciones es no lineal, cuando al menos una de sus ecuaciones no es de primer grado.

La resolución de estos sistemas se suele hacer por el método de sustitución.

2.11.Sistemas de ecuaciones exponenciales y logarítmicas

Sistemas de ecuaciones exponenciales:

Un sistema de ecuaciones exponenciales es aquel sistema en los que las incógnitas aparecen en los exponentes.

Métodos de resolución de sistemas de ecuaciones exponenciales:

 Igualar los exponentes si los dos miembros tienen potencias con la      misma base.

Realizar un cambio de variable.

ejemplo: 

   

Sistema de ecuaciones logarítmicas:

Para resolver sistemas de ecuaciones logarítmicas actuaremos de modo similar a como lo hicimos con las ecuaciones logarítmicas.

Algunos sistemas se pueden resolver directamente por el método de reducción.

Ejemplo:

2.12.Inecuaciones 

Una inecuación es una expresión matemática la cual se caracteriza por tener los signos de desigualdad. Siendo una expresión algebraica nos da como resultado un conjunto en el cual la variable independiente puede tomar el valor cualquiera de ese conjunto cumpliendo esta desigualdad. A este conjunto se le conoce como intervalo.

 Una de las obligaciones de las (inecuaciones) es la de cumplir una desigualdad.

Una inecuación es una desigualdad algebraica en la que sus dos miembros aparecen ligados por uno de estos signos:

<	menor que	2x − 1 < 7
≤	menor o igual que	2x − 1 ≤ 7
>	mayor que	2x − 1 > 7
≥	mayor o igual que	2x − 1 ≥ 7

Inecuaciones lineales con dos incógnitas:

Su solución es uno de los semiplanos que resulta de representar la ecuación resultante, que se obtiene al transformar la desigualdad en una igualdad.

Ejemplo: