matemáticas: Funciones, límites y continuidad

HISTORIA:

Mientras que el cálculo diferencial e integral surgió en el siglo XVII, el concepto de función vino a conocerse un siglo despúes, y el limite, entendido de una manera formal y rigurosa, solo a finales del siglo XIX, lo cual difiere de la forma como se presenta actualmente el cálculo, en donde primero se enseñan funciones, luego limites y finalmente derivadas o integrales. En la obra Introductio in Analysi Infinitorum, Leonhard Euler intenta por primera vez dar una definición formal del concepto de función al afirmar que: ``Una función de cantidad variable es una expresión analítica formada de cualquier manera por esa cantidad variable y por numeros o cantidades constantes''. como puede observarse, esta definición difiere de la que actualmenet se conoce, pues siete años despúes, en el prólogo de las Instituciones, calculo diferencial, afirmó:''Algunas cantidades en verdad dependen de otras, si al ser combinadas las ultimas las primeras también sufren cambio, y entonces las primeras se llaman funciones de las últimas. esta denominación es bastante natural y comprende cada metodo mediante el cual una cantidad puede ser determinada por otras. asi, si x denota una cantidad variable, entonces todas las cantidades que dependen de x en cualquier forma estan determinadas por x y se les llama funciones de x''.

En la historia de las matemáticas se le dan creditos al matemático suizo Leonhard Euler(1707-1783) por precisar el concepto de función, asi como por realizar un estudio sistemático de todas las funciones elementales, incluyendo sus derivadas e integrales; sin embargo, el concepto mismo de función nació con las primeras relaciones observadas entre dos variables, hecho que seguramente surgió desde los inicios de la matemática en la humanidad, con civilizaciones como la babilonica, la egipcia y la china.

Antes de Euler, el matemático y filosofo francés Rene Descartes(1596-1650) mostró en sus trabajos de geometria que tenía una idea muy clara de los conceptos de ``variable'' y ``función'', realizando una clasificación de las curvas algebraicas según sus grados, reconociendo que los puntos de intersección de dos curvas se obtienen resolviendo, en forma simultanea, las ecuaciones que las representan.

CONCEPTO DE FUNCIÓN. DOMINIO Y RECORRIDO

Función: una función entre dos conjuntos numéricos es una correspondencia tal que no hay ningún número que tenga más de una imagen.

Dominio de una función o campo de existencia: es el conjunto formado por los elementos que tienen imagen. Los valores que le damos a x ( variable independiente) forman el conjunto original. Graficamente lo miramos en el eje OX de abscisas, leyendo como escribimos de izquierda a derecha.

Recorrido o rango de una función: es el conjunto formado por las imágenes. Son los valores que toma la función "y" variable dependiente, por eso se denomina f(x), su valor depende del valor que le demos a "x". Graficamente lo miramos en el eje OY de ordenadas, leyendo de abajo a arriba.

OPERACIONES CON FUNCIONES

Función Suma

Si f(x) y g(x) son dos funciones, entonces la función suma esta dada por

( f + g ) ( x ) = f (x) + g (x)

Función Diferencia

Si f(x) y g(x) son dos funciones, entonces la función diferencia esta dada por

( f - g ) ( x ) = f (x) - g (x)

Función Producto Si f(x) y g(x) son dos funciones, entonces la función producto esta dada por ( f g ) ( x ) = f (x) g (x)

Función Cociente

Si f(x) y g(x) son

dos funciones, entonces la función cociente esta dada por

Text Box: Composición de Funciones ( Funciones compuestas )

Sean f(x) y g(x) dos funciones con sus respectivos dominios Df y Dg ,
entonces la función f(x) compuesta con g(x) es dada por:

Ejemplo:

LIMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO

Definición intuitiva de límite

Decir que existe el límite de una función f en cierto punto a equivale a decir que, fijándonos en entornos suficientemente pequeños del punto a, la función tomará en todos los puntos de tales entornos (excepto en el punto a) valores tan cercanos como queramos a una determinada cantidad, que será el límite. Obsérvese que no se está exigiendo que la función esté definida en el punto en el que queremos estudiar la existencia o no de límite.

Límite laterales

Una vez que tenemos una visión inicial de la idea de límite, vamos a intentar una aproximación más rigurosa. Para ello tenemos que hablar del concepto de límite lateral. Supongamos que tenemos una función f definida en cierto intervalo y tomamos un punto a de dicho intervalo. Decir que existe el límite por la derecha de la función f en el punto a equivale a decir que, fijándonos en intervalos abiertos suficientemente pequeños con extremo superior a, la función tomará en todos los puntos de dichos intervalos valores tan cercanos como queramos a una determinada cantidad, que será el límite por la derecha de la función en a. Obsérvese que no se está exigiendo que la función esté definida en el punto en el que queremos estudiar la existencia o no de límite por la derecha. Una definición parecida puede darse para el límite lateral por la izquierda, sólo que en este caso nos fijaremos en los valores que toma la función a la izquierda del punto a.

limite latera se aproxima por la derecha

limite latera se aproxima por la izquierda

LÍMITES EN EL INFINITO

LÍMITES INFINITOS

Crecimiento infinito

MathType 5.0 Equation

Decrecimiento infinito

MathType 5.0 Equation

CÁLCULO DE LÍMITES

Si f(x) es una función usual (polinómicas, racionales, radicales, exponenciales, logarítmicas, etc.) y está definida en el punto a, entonces se suele cumplir que:

límite

Es decir: para calcular el límite se sustituye en la
función el valor al que tienden las x.

Tipos de indeterminación

Resolver límites cuando x tiende a + infinito o a - infinito

Tipos de indeterminaciones dependiendo de a que valores tiende x.

Resolver indeterminaciones cuando la x tiende al infinito.

Resolver límites cuando x tiende a un número finito

Límite de una función en un punto.

ASÍNTOTAS

Podemos definir el concepto de asíntota de la siguiente forma:

Dada una función $y=f(x)$ cuya gráfica es la curva $C$ se dice que la recta $r$ es una asíntota de $f(x)$ si la curva $C$ se acerca a $r$ indefinidamente sinllegar a coincidir con la propia $r$ .

Teniendo en cuenta que una asíntota es, en particular, una recta, vamos a distinguir tres tipos de asíntotas:

Asíntotas horizontales
Asíntotas verticales
Asíntotas oblicuas

Asíntotas horizontales

Las asíntotas horizontales de una función son rectas horizontales de la forma $y=a$ . Una función puede tener a lo sumo dos asíntotas horizontales: una por la izquierda (cuando $x \rightarrow -\infty$ ) y otra por la derecha (cuando $x \rightarrow \infty$ ). Se calculan de la siguiente forma:

Si $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow -\infty} f(x)=a}$ , entonces $y=a$ es una asíntota horizontal para $f(x)$ (por la izquierda).
Si $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow +\infty} f(x)=b}$ , entonces $y=b$ es una asíntota horizontal para $f(x)$ (por la derecha).

Asíntotas verticales

Las asíntotas verticales de una función son rectas verticales de la forma $x=k$ . No hay restricciones en cuanto al número de asíntotas verticales que puede tener una función: hay funciones que no tienen asíntotas verticales, funciones que tienen sólo una, funciones que tienen dos y hasta funciones que tienen infinitas. Se calculan de la siguiente forma:

Si $\lim_{x \rightarrow k^-} f(x)=\pm \infty$ , entonces $x=k$ es asíntota vertical para $f(x)$ (por la izquierda de la misma si el límite ha dado $-\infty$ y por la derecha si el límite ha dado $+\infty$ ).
Si $\lim_{x \rightarrow k^+} f(x)=\pm \infty$ , entonces $x=k$ es asíntota vertical para $f(x)$ (por la izquierda de la misma si el límite ha dado $-\infty$ y por la derecha si el límite ha dado $+\infty$ ).

Asíntotas oblicuas

Las asíntotas oblicuas de una función son rectas oblicuas, es decir, rectas de la forma $y=mx+n$ . Una función puede tener, como máximo, dos asíntotas oblicuas distintas (una por la izquierda de su gráfica y otra por la derecha de la misma). El cálculo de las mismas se realiza así:

Asíntota oblicua por la izquierda
$m=\lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{f(x)}{x}$
$n=\lim_{x \rightarrow -\infty} (f(x)-mx)$
Asíntota oblicua por la derecha
$m=\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{f(x)}{x}$
$n=\lim_{x \rightarrow \infty} (f(x)-mx)$

Si $m$ da un resultado distinto de ${0}$ y $\pm \infty$ prodecemos con el cálculo de $n$ de esta forma:

Si $n$ da como resultado un número real (es decir, ese límite no vale ni $\infty$ ni $-\infty$ ), entonces la recta $y=mx+n$ es una asíntota oblicua para $f(x)$ por la izquierda.

Si $m$ da un resultado distinto de ${0}$ y $\pm \infty$ prodecemos con el cálculo de $n$ de esta forma:

Si $n$ da como resultado un número real (es decir, ese límite no vale ni $\infty$ ni $-\infty$ ), entonces la recta $y=mx+n$ es una asíntota oblicua para $f(x)$ por la derecha.

Ejemplo de como calcular las asíntotas de una función

CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Y EN UN INTERVALO

Continuidad de una función en un punto

Si x_o es punto de acumulación del dominio de la función entonces f es continua en x_o si y sólo si $\lim_{x \to x_o} f(x)=f(x_0)$ . Cuando x_o no es de acumulación del dominio, la función es continua en ese punto.

Continuidad de una función en un intervalo

Una función es continua en un intervalo cerrado [a, b] si:

f es continua en x, para todo x perteneciente al intervalo abierto (a, b)
f es continua en a por la izquierda: Condiciones

f es continua en a por la derecha: Condiciones

Ejemplo:

En este vídeo va a explicar la continuidad en una función a trozos mediante un ejemplo de una función a trozos

matemáticas

lunes, 9 de abril de 2012

Funciones, límites y continuidad