matemáticas: Funciones elementales

INTRODUCCIÓN:

En matemáticas, una función elemental es una función construida a partir de una cantidad finita de exponenciales, logaritmos, constantes, variables, y raíces de ecuaciones mediante composición y combinaciones utilizando las cuatro operaciones elementales (+ – × ÷). Las funciones trigonométricas y sus inversas son consideradas dentro del grupo de funciones elementales ya que se pueden obtener mediante el uso de variables complejas y sus relaciones entre las funciones trigonométricas y las funciones exponencial y logaritmo.

PUNTOS DE CORTE CON LOS EJES

Punto de corte con el eje x:

Para hallar los puntos de corte con el eje de abscisas
hacemos y = 0 y resolvemos la ecuación resultante.

Punto de corte con el eje y:

Para hallar el punto de corte con el eje de ordenadas hacemos x = 0 y calculamos el valor de f(0).

Signo de un función:

El estudio del signo de una función, consiste en determinar en que intervalos la función toma valores positivos (la gráfica está por encima del eje X) y en qué intervalos toma valores negativos (la gráfica está por debajo del eje X).

SIMETRÍA

Simetría respecto del eje de ordenadas

Una función f es simétrica respecto del eje de ordenadas si ésta es una función par, es decir: f(-x) = f(x)

Ejemplo de una función par

Simetría respecto al origen

Una función f es simétrica respecto al origen si ésta es una función impar, es decir:
f(-x) = -f(x)

Simetría

Ejemplo de una función impar.

FUNCIÓN POLINÓMICA

Para representar la gráfica de una función polinomial hay que hacer un estudio breve de dominio, asíntotas ya que las funciones polinomicas de grado mayor que uno no tienen asíntotas, puntos de corte y signo con estos datos podemos esbozar la gráfica.
Eso lo que vamos a explicar ahora mediante un ejemplo:

FUNCIÓN RACIONAL

Funciones racionales Se conocen con el nombre de funciones racionales aquellas funciones cuya expresión es una fracción algebraica

El dominio de una función racional de lo forman todos los números reales menos los valores de x que anulan el denominador.

Puntos de cortes con los ejes X y Y se sigue el procedimiento habitual.

Signo de la función no hay que olvidar estudiar los tramos definidos por los puntos de corte con el eje x y los valores que no pertenecen al dominio.

Simetría hay que estudiarlas en cada caso.

Asíntotas una propiedad de las funciones racionales es que pueden tener asíntotas de los tres tipos posibles.

gráfica de una función racional

Ejemplo de una funciona racional donde se hace un estudio breve para poder esbozar la gráfica

FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICAS

Funciones exponenciales

Una función exponencial es una función de la forma y = a^x, donde a>0 y a es diferente de uno.

características:

características de las funciones exponenciales crecientes:

El dominio es el conjunto de los números reales.El recorrido es el conjunto de los números reales positivos.El valor de y se acerca a cero pero nunca será cero, cuando x toma valores negativos.Todas las funciones intersecan al eje y en el punto (0,1).Son funciones continuas.

características de las funciones exponenciales decrecientes:

El dominio es el conjunto de los números reales.El recorrido es el conjunto de los números reales positivos.El valor de y se acerca a cero pero nunca será cero, cuando x toma valores positivos.Todas las funciones intersecan al eje y en el punto (0,1).Son funciones continuas.

La función logarítmica

El logaritmo de un número y es el exponente al cual hay que elevar la base a para obtener y. Esto es, si a > 0 y a es diferente de uno, entonces log_ay = x si y sólo si y = a^x.

Propiedades de una función logarítmica.