Integración

HISTORIA:

La integración se puede trazar en el pasado hasta el antiguo Egipto, circa 1800 a. C., con el papiro de Moscú, donde se demuestra que ya se conocía una fórmula para calcular el volumen de untronco piramidal. La primera técnica sistemática documentada capaz de determinar integrales es el método de exhausción de Eudoxo (circa 370 a. C.), que trataba de encontrar áreas y volúmenes a base de partirlos en un número infinito de formas para las cuales se conocieran el área o el volumen.

Hasta el siglo XVI no empezaron a aparecer adelantos significativos sobre el método de exhausción. En esta época, por un lado, con el trabajo de Cavalieri con su método de los indivisibles y, por otro lado, con los trabajos de Fermat, se empezó a desarrollar los fundamentos del cálculo moderno. A comienzos del siglo XVII, se produjeron nuevos adelantos con las aportaciones deBarrow y Torricelli, que presentaron los primeros indicios de una conexión entre la integración y la derivación.

INTEGRAL INDEFINIDA: 

No  todas las funciones poseen función primitiva, ya que dada una función puede no 

existir otra que la tenga por derivada. 

Ahora bien, cuando una función: ƒ(x), posee función primitiva: F(x), ésta no es única, 

sino que existen infinitas funciones primitivas: todas las que difieren de F(x) en una cantidad 

constante. 

En  efecto,  si  F(x) es función primitiva de  ƒ(x),  se verifica que: F '(x) = ƒ(x), pues 

bien, la función  F(x)  + C, donde C es un número real cualquiera, también es una función 

primitiva de ƒ(x), ya que: 

[F(x) + C]' = [F(x)]' + [C]' = F '(x) + 0 = F '(x) = ƒ(x) 

El  conjunto formado por todas las funciones  primitivas de una función ƒ(x) se 

denomina integral indefinida de ƒ(x) dx. La integral indefinida se representa por:   

∫f (x)dx

De lo expuesto se deduce que la integración indefinida es la operación inversa de la 

diferenciación, ya que consiste en hallar todas las funciones cuya diferencial sea una dada.

FUNCIÓN PRIMITIVA:

En  los  temas  anteriores se ha  estudiado  como  puede obtenerse la función derivada 

de una función dada. En  ocasiones se presenta la necesidad de llevar a  cabo el  proceso 

contrario,  esto es, dada una  función  hallar  otra, denominada "Función Primitiva", cuya 

derivada sea la primera. 

Función  primitiva  de una función dada: ƒ(x),  es  otra  función: F(x), cuya derivada 

es la primera. 

F(x) = función primitiva de ƒ(x)   ⇒   F '(x) = ƒ(x)

• Primitivas inmediatas:.

Ejemplo:

INTEGRALES DEFINIDAS:

Dada f(x) una función continua y positiva en el intervalo [a,b]. Se define la integral definida, en el intervalo [a,b], como el área limitada por las rectas x=a, x=b, el eje OX y la gráfica de f(x) y se nota 

                                 

FORMULA:

Para hallar la integral definida, se procede así:

1. Se halla una primitiva de la función f(x): G(x)=ò f(x)dx.
2. Se calculan los valores G(b) y G(a).
3. La integral buscada es = G(b)-G(a)

Ejemplo:

ÁREA ENTRE DOS FUNCIONES:

Se utiliza el mismo método, con excepción que aquí los intervalos se buscan, ya que como intervalos se utilizan los puntos donde se intersecan las graficas. Hay veces que las graficas se intersecan mas de 2 veces y de aquí sale que se sumas las 2 regiones.

Ejemplo: