Geometría analítica plana

introducción

La geometría analítica estudia las figuras geométricas mediante técnicas básicas del análisis matemático y del álgebra en un determinado sistema de coordenadas. Su desarrollo histórico comienza con la geometría cartesiana, impulsada con la aparición de la geometría diferencial de Carl Friedrich Gauss y más tarde con el desarrollo de la geometría algebraica. Actualmente lageometría analítica tiene múltiples aplicaciones más allá de las matemáticas y la ingeniería, pues forma parte ahora del trabajo de administradores para la planeación de estrategias y logística en la toma de decisiones.

Ecuaciones de la recta   

Ecuación vectorial:

Para determinar la ecuación vectorial de una recta es necesario que conozcamos un punto de la recta y un vector de posición o dos puntos de la recta. Vamos a hallar la ecuación a partir de un punto y un vector de posición, si tuviesemos dos puntos A, B entonces el vector AB es un vector de posición.

La ecuación de una recta es una expresión analítica que permite identificar todos los puntos de la recta.

Dados un punto  de la recta y un vector de dirección  , un punto genérico de la recta  tendrá como vector de posición .

Es claro que  , como el vector  y  están en la misma dirección exite un número  tal que , por tanto  esta expresión se conoce como ecuación vectorial de la recta.

Ecuación vectorial de la recta: 

Ecuaciones paramétricas de la recta:

A partir de la ecuación vectorial: 

Realizando las operaciones indicadas se obtiene:

La igualdad de vectores se desdobla en las dos igualdades escalares:

Ecuación continua de la recta:

Si de las ecuaciones paramétricas despejamos el parámetro k.

Y si igualamos, queda:

Ecuación general:

Partiendo de la ecuación continua la recta

Y quitando denominadores se obtiene:

Trasponiendo términos:

Haciendo 

           

Se obtiene

                

Esta expresión recibe el nombre de ecuación general o implicita de la recta. De esta forma se acostumbra a dar la respuesta cuando se pide la ecuación de una recta.

Las componentes del vector director son:

La pendiente de la recta es:

Ecuación explícita de la recta:

Si en la ecuación general de la recta:

despejamos y, se obtiene la ecuación explícita de la recta:

El coeficiente de la x es la pendiente, m.

El término independiente, b, se llama ordenada en el origen de una recta, siendo (O, b) el punto de corte con el eje OY.

Ecuación punto pendiente:

Partiendo de la ecuación continua la recta

Y quitando denominadores:

Y despejando:

Como

 

Se obtiene:

Posición relativa de rectas en el plano

Dos rectas pueden adoptar en el espacio las tres posiciones relativas siguientes:

1. Secantes: Dos rectas so Dos rectas son secantes si sólo tienen un punto en común.El sistema de ecuaciones formado por las dos rectas tiene una solución.

  

Dos rectas son secantes cuando se cortan en un punto.

Dos rectas son secantes si los coeficientes de x e y respectivos no son proporcionales.

n secantes si tienen distinta pendiente.

m ≠ m'

2. Paralelas: Dos rectas son paralelas si sus vectores directores son paralelos, es decir, si éstos son linealmente dependientes.

Dos rectas son paralelas si tienen sus vectores directores iguales.

  

Dos rectas son paralelas si tienen sus pendientes iguales.

Dos rectas son paralelas si los coeficientes de x e y respectivos son proporcionales.

Dos rectas son paralelas si forman un ángulo de 0º.

3. Coincidentes: Si , las rectas son coincidentes, todos sus puntos son comunes.

Haz de rectas secantes y paralelas:

Distancia entre puntos y rectas 

Distancia entre dos puntos:

La distancia entre dos puntos es igual al módulo del vector que tiene de extremos dichos puntos.

Distancia de un punto a una recta:

La distancia de un punto a una recta es la longitud del segmento perpendicular a la recta, trazada desde el punto. 

             

Distancia entre dos rectas:

Si dos rectas en el plano no son paralelas, se cortan en un punto y portanto la distancia entre amas será 0. Sólo tiene sentido estudiar la distancia entre dos rectas si éstas son paralelas. Sean r:Ax+By+C=0 ys:A'x+B'y+C'=0 dos rectas paralelas. Para hallar la distancia entre ambas se toma un punto de una de ellas, por ejemplo de r, y se calcula la distancia de ese punto a s.  

Ángulo de dos rectas 

Ángulo de dos rectas:

Se llama ángulo de dos rectas al menor de los ángulos que forman éstas. Se pueden obtener a partir de: 

 Sus vectores directores  

 Sus pendientes

Rectas perpendiculares:

Dos rectas son perpendiculares si forman ángulo de 90º. sus pendientes son inversas y opuestas.

Lugares geométricos. Mediatriz y bisectriz 

Se llama lugar geométrico del plano al conjunto de todos los puntos del plano que verifican una misma propiedad.

Mediatriz de un segmento

Mediatriz de un segmento es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los extremos.

Ecuación de la Mediatriz: 

Bisectriz de dos rectas:

Dados dos rectas r y s, se denominan bisectriz de dichas rectas a las b´ y b´´ que dividen a los ángulos determinados por r y s en dos partes iguales.

Ecuación de la bisectriz: