Geometría analítica plana

introducción

La geometría analítica estudia las figuras geométricas mediante técnicas básicas del análisis matemático y del álgebra en un determinado sistema de coordenadas. Su desarrollo histórico comienza con la geometría cartesiana, impulsada con la aparición de la geometría diferencial de Carl Friedrich Gauss y más tarde con el desarrollo de la geometría algebraica. Actualmente lageometría analítica tiene múltiples aplicaciones más allá de las matemáticas y la ingeniería, pues forma parte ahora del trabajo de administradores para la planeación de estrategias y logística en la toma de decisiones.

Ecuaciones de la recta   

Ecuación vectorial:

Para determinar la ecuación vectorial de una recta es necesario que conozcamos un punto de la recta y un vector de posición o dos puntos de la recta. Vamos a hallar la ecuación a partir de un punto y un vector de posición, si tuviesemos dos puntos A, B entonces el vector AB es un vector de posición.

La ecuación de una recta es una expresión analítica que permite identificar todos los puntos de la recta.

Dados un punto  de la recta y un vector de dirección  , un punto genérico de la recta  tendrá como vector de posición .

Es claro que  , como el vector  y  están en la misma dirección exite un número  tal que , por tanto  esta expresión se conoce como ecuación vectorial de la recta.

Ecuación vectorial de la recta: 

Ecuaciones paramétricas de la recta:

A partir de la ecuación vectorial: 

Realizando las operaciones indicadas se obtiene:

La igualdad de vectores se desdobla en las dos igualdades escalares:

Ecuación continua de la recta:

Si de las ecuaciones paramétricas despejamos el parámetro k.

Y si igualamos, queda:

Ecuación general:

Partiendo de la ecuación continua la recta

Y quitando denominadores se obtiene:

Trasponiendo términos:

Haciendo 

           

Se obtiene

                

Esta expresión recibe el nombre de ecuación general o implicita de la recta. De esta forma se acostumbra a dar la respuesta cuando se pide la ecuación de una recta.

Las componentes del vector director son:

La pendiente de la recta es:

Ecuación explícita de la recta:

Si en la ecuación general de la recta:

despejamos y, se obtiene la ecuación explícita de la recta:

El coeficiente de la x es la pendiente, m.

El término independiente, b, se llama ordenada en el origen de una recta, siendo (O, b) el punto de corte con el eje OY.

Ecuación punto pendiente:

Partiendo de la ecuación continua la recta

Y quitando denominadores:

Y despejando:

Como

 

Se obtiene:

Posición relativa de rectas en el plano

Dos rectas pueden adoptar en el espacio las tres posiciones relativas siguientes:

1. Secantes: Dos rectas so Dos rectas son secantes si sólo tienen un punto en común.El sistema de ecuaciones formado por las dos rectas tiene una solución.

  

Dos rectas son secantes cuando se cortan en un punto.

Dos rectas son secantes si los coeficientes de x e y respectivos no son proporcionales.

n secantes si tienen distinta pendiente.

m ≠ m'

2. Paralelas: Dos rectas son paralelas si sus vectores directores son paralelos, es decir, si éstos son linealmente dependientes.

Dos rectas son paralelas si tienen sus vectores directores iguales.

  

Dos rectas son paralelas si tienen sus pendientes iguales.

Dos rectas son paralelas si los coeficientes de x e y respectivos son proporcionales.

Dos rectas son paralelas si forman un ángulo de 0º.

3. Coincidentes: Si , las rectas son coincidentes, todos sus puntos son comunes.

Haz de rectas secantes y paralelas:

Distancia entre puntos y rectas 

Distancia entre dos puntos:

La distancia entre dos puntos es igual al módulo del vector que tiene de extremos dichos puntos.

Distancia de un punto a una recta:

La distancia de un punto a una recta es la longitud del segmento perpendicular a la recta, trazada desde el punto. 

             

Distancia entre dos rectas:

Si dos rectas en el plano no son paralelas, se cortan en un punto y portanto la distancia entre amas será 0. Sólo tiene sentido estudiar la distancia entre dos rectas si éstas son paralelas. Sean r:Ax+By+C=0 ys:A'x+B'y+C'=0 dos rectas paralelas. Para hallar la distancia entre ambas se toma un punto de una de ellas, por ejemplo de r, y se calcula la distancia de ese punto a s.  

Ángulo de dos rectas 

Ángulo de dos rectas:

Se llama ángulo de dos rectas al menor de los ángulos que forman éstas. Se pueden obtener a partir de: 

 Sus vectores directores  

 Sus pendientes

Rectas perpendiculares:

Dos rectas son perpendiculares si forman ángulo de 90º. sus pendientes son inversas y opuestas.

Lugares geométricos. Mediatriz y bisectriz 

Se llama lugar geométrico del plano al conjunto de todos los puntos del plano que verifican una misma propiedad.

Mediatriz de un segmento

Mediatriz de un segmento es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los extremos.

Ecuación de la Mediatriz: 

Bisectriz de dos rectas:

Dados dos rectas r y s, se denominan bisectriz de dichas rectas a las b´ y b´´ que dividen a los ángulos determinados por r y s en dos partes iguales.

Ecuación de la bisectriz: 

Vectores

Historia y definición de los vectores

En física, matemáticas e ingeniería, un vector (también llamado vector euclidiano o vector geométrico) es una herramienta geométrica utilizada para representar una magnitud física definida por un módulo (o longitud) y una dirección (u orientación).

Los vectores se pueden representar geométricamente como segmentos de recta dirigidos o flechas en el plano  o en el espacio .

Vectores fijos en 

Un vector fijo  es un segmento orientado que va del punto A (origen) al punto B (extremo).

Módulo, dirección y sentido del vector fijo 

Módulo: 

Es la longitud o tamaño del vector. Para hallarla es preciso conocer el origen y el extremo del vector, pues para saber cuál es el módulo del vector, debemos medir desde su origen hasta su extremo.

Dirección: 

Viene dada por la orientación en el espacio de la recta que lo contiene.

Sentido: 

Se indica mediante una punta de flecha situada en el extremo del vector, indicando hacia qué lado de la línea de acción se dirige el vector.

Vectores equipolentes:Dos vectores son equipolentes cuando tienen igual módulo, dirección y sentido.

Vectores libres en 

El conjunto de todos los vectores equipolentes entre sí se llama vector libre. Es decir los vectores libres tienen el mismo módulo, dirección y sentido.

Módulo, dirección y sentido del vector libre

Se llama módulo, dirección y sentido de un vector libre no nulo, al módulo, dirección y sentido de uno cualquiera de sus representantes.

Operaciones con vectores. Dependencia lineal

Suma y resta de vectores libres:

La suma de dos vectores libres es otro vector libre que se determina de la siguiente forma:

Se sitúa el punto de aplicación de uno de ellos sobre el extremo del otro; el vector suma es el vector que tiene su origen en el origen del primero y su extremo en el extremo del segundo.

Por tanto, el vector suma de dos vectores coincide con una de las diagonales, la "saliente", del paralelogramo que puede formarse con los vectores que se suman; la otra diagonal representa la resta de dichos vectores.

Base canónica

Los vectores =(1,0) y = (0,1) reciben el nombre de base canónica de los vectores del plano, y los escalares u₁ y u₂, componentes de =(u₁,u₂) en la base canónica.

Operaciones de vectores con coordenadas

Suma y resta de vectores libres:

La suma y resta de vectores se realiza sumando o restando cada una de las componentes de cada uno y da como resultado otro vector.

V1 = (x1, y1)

V2 = (x2, y2)

V1 + V2 = (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1+ y2)

Gráficamente la suma y resta de vectores se puede realizar por el método del paralelogramo, es decir trazar sobre cada vector una recta paralela al otro formando un paralelogramo, cuya diagonal es la suma.

Modulo y argumento de un vector:

Modulo:

Aplicando el teorema de Pitágoras, tomando la longitud de cada cateto como el valor de cada coordenada del vector, obtenemos la longitud del segmento a la que llamamos módulo del vector.

El módulo del vector nos sirve también para calcular la distancia entre dos puntos que han servido de origen y extremo, es decir,  distancia(P,Q) = PQ = módulo(v).

Argumento:

La dirección de un vector viene señalada por la recta que lo contiene y todas sus paralelas, o lo que es lo mismo, por el ángulo que forma con la horizontal (argumento). Fíjate que puedes aplicar la definición de tangente trigonométrica para calcular el argumento, es decir si v(v_x,v_y) tiene por argumento α ocurrirá que tg α=v_y/v_x , de lo que obtenemos dos valores para α (en dos cuadrantes diferentes) que nos marcarán la misma dirección pero sentidos contrarios. El vector v está perfectamente definido por su módulo R y el argumento α, así v=R_α definirá el vector y se llaman coordenadas polares.

Producto escalar de  dos vectores 

El producto escalar de dos vectores, expresado analíticamente como r · v, se obtiene de la suma de los productos formados por las componentes de uno y otro vector. Es decir, dados dos vectores r y v, expresados en un mismo sistema de coordenadas:

r = r_xi + r_yj + r_zk

v = v_xi + v_yj + v_zk

teniendo en cuenta que el producto escalar de los vectores :

i · i = j · j = k · k = 1

i · j = i · k = j · k = 0

el resultado de multiplicar escalarmente r por v es:

r · v = r_x· v_x + r_y · v_y+ r_z · v_z

Esta operación no solo nos permite el cálculo de la longitud de los segmentos orientados que representan ( sus módulos ), sino también calcular el ángulo que hay entre ellos. Esto es posible, ya que el producto escalar también se puede hallar en función de sus módulos y del coseno del ángulo que forman mediante la fórmula :

r · v = |r| · |v| · cos (r, v)

El producto escalar de dos vectores es igual al módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre el primer.

Ángulo de dos vectores:

El producto escalar de dos vectores es por definición un escalar.

Con lo que deducimos que: